调和级数为什么无限大

数列1 n收敛吗 它和调和级数1 n有什么区别吗

大家好,感谢邀请,今天来为大家分享一下调和级数为什么无限大的问题,以及和为什么调和级数发散的一些困惑,大家要是还不太明白的话,也没有关系,因为接下来将为大家分享,希望可以帮助到大家,解决大家的问题,下面就开始吧!

本文目录

  1. 调和级数为什么无限大
  2. 交错级数为什么收敛
  3. 一般项趋于0所以级数发散为什么
  4. 将调和级数的分母提升至n次幂是否仍然发散

调和级数为什么无限大

首先,调和级数是发散的。这是非常显然的,因为其各项之和无限大。事实上,对于调和级数而言,其各项以及总和都没有上界。

交错级数为什么收敛

交错调和级数是和西格玛(-1)^n/n。

收敛是因为通项的绝对值n趋于无穷大时要趋于零。通项的绝对值前一项大于后一项,也就是说逐渐递减,符合这两个条件的交错级数就是收敛的。而调和级数是发散的,我们可以通过凑和1/2的方法就可以证明其是发散的。

一般项趋于0所以级数发散为什么

级数收敛一定可以推出一般项趋于零,而反过来就不行.典型例子就是调和级数西格玛1/n(n从1到无穷),它的通项趋于零但级数发散

将调和级数的分母提升至n次幂是否仍然发散

答:都是收敛的!对于调和级数的扩展级数∑1/n^(1+ε),当ε>1时,∑1/n^(1+ε)收敛!

这是一个很有趣的性质,调和级数∑1/n发散,但是把n的指数扩大,哪怕扩大一点点,都会导致级数收敛。

其实,这就是黎曼zata函数的一部分:

对于黎曼zata函数,z>1时都是收敛的,其中z取复数也成立。

如果自变量取实数,那么级数的结果为:

其中C(ε)是一个与ε有关的常数,从结果我们可以看出:

(1)ε>0时,级数∑1/n^(1+ε)收敛;

(2)ε=0时,就是调和级数发散,此时的C(ε),其实就是欧拉常数γ;

对于特殊的结果,比如ε为奇数时,级数的值是有通用表达式的,最早由大数学家欧拉给出:

其中,B为伯努利数,当n=1时,B2=1/6,即是巴塞尔级数:

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一个交错调和级数的极限问题

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